The definition of Heaviside step function is
θ ( x ) = { 0 x < 0 1 2 x = 0 1 x > 0 \theta(x)= \begin{cases}0 & x<0 \\ \frac{1}{2} & x=0 \\ 1 & x>0\end{cases} θ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 2 1 1 x < 0 x = 0 x > 0 It can be written as (If we substitute $x$ with $t-t’$ as we’ll be using them in time ordering operator):
θ ( t − t ′ ) = − 1 2 π i lim η → 0 + ∫ − ∞ ∞ d ω e − i ω ( t − t ′ ) ω + i η (1) \theta\left(t-t^{\prime}\right)=-\frac{1}{2 \pi i} \lim_{\eta \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty} d \omega \frac{e^{-i \omega (t-t^{\prime})}}{\omega+i \eta} \tag{1} θ ( t − t ′ ) = − 2 πi 1 η → 0 + lim ∫ − ∞ ∞ d ω ω + i η e − iω ( t − t ′ ) ( 1 ) To show this relation is correct, we need to use the
lim ϵ → 0 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x x ± i ϵ = P ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x x ∓ i π f ( 0 ) \lim _{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) d x}{x \pm i \epsilon}=\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) d x}{x} \mp i \pi f(0) ϵ → 0 lim ∫ − ∞ ∞ x ± i ϵ f ( x ) d x = P ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x ∓ iπ f ( 0 ) and Eq. 1 turns into:
θ ( t − t ′ ) = − 1 2 π i lim η → 0 + ∫ − ∞ ∞ d x e − i x ( t − t ′ ) x + i η = − 1 2 π i [ P ∫ − ∞ ∞ e − i x ( t − t ′ ) d x x − i π ] (2) \begin{aligned}
\theta\left(t-t^{\prime}\right)&=-\frac{1}{2 \pi i} \lim_{\eta \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty} d x \frac{e^{-i x\left(t-t^{\prime}\right)}}{x+i \eta}\\
&= -\frac{1}{2 \pi i} \left [ \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x} - i \pi \right]
\end{aligned} \tag{2} θ ( t − t ′ ) = − 2 πi 1 η → 0 + lim ∫ − ∞ ∞ d x x + i η e − i x ( t − t ′ ) = − 2 πi 1 [ P ∫ − ∞ ∞ x e − i x ( t − t ′ ) d x − iπ ] ( 2 ) expanding the tems inside the braket:
P ∫ − ∞ ∞ e − i x ( t − t ′ ) d x x − i π = lim δ → 0 { ∫ − ∞ − δ e − i x ( t − t ′ ) d x x + ∫ δ ∞ e − i x ( t − t ′ ) d x x } − i π = lim δ → 0 { ∫ − ∞ − δ cos [ x ( t − t ′ ) ] − i sin [ x ( t − t ′ ) ] x d x + ∫ δ ∞ cos [ x ( t − t ′ ) ] − i sin [ x ( t − t ′ ) ] x d x } − i π \begin{aligned}
& \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x} - i \pi \\
=& \lim_{\delta \rightarrow 0} \left \{ \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x} + \int_{\delta}^{\infty} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x}\right \} -i \pi \\
=& \lim_{\delta \rightarrow 0} \left \{ \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{ \cos[x (t-t^{\prime})] - i \sin[x (t-t^{\prime})]}{x}dx + \int_{\delta}^{\infty} \frac{ \cos[x (t-t^{\prime})] - i \sin[x (t-t^{\prime})]}{x}dx \right \} -i\pi\\
\end{aligned} = = P ∫ − ∞ ∞ x e − i x ( t − t ′ ) d x − iπ δ → 0 lim { ∫ − ∞ − δ x e − i x ( t − t ′ ) d x + ∫ δ ∞ x e − i x ( t − t ′ ) d x } − iπ δ → 0 lim { ∫ − ∞ − δ x cos [ x ( t − t ′ )] − i sin [ x ( t − t ′ )] d x + ∫ δ ∞ x cos [ x ( t − t ′ )] − i sin [ x ( t − t ′ )] d x } − iπ Becasue $\cos$ is odd, two $\cos$ within the first and second integral vanishes, and in the limit of $\delta \rightarrow 0$ we can combine the $\sin$ terms, giving us:
P ∫ − ∞ ∞ e − i x ( t − t ′ ) d x x − i π = − i ∫ − ∞ ∞ sin [ x ( t − t ′ ) ] x d x − i π (3) \begin{aligned}
& \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x} - i \pi \\
=&- i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin[x (t-t^{\prime})]}{x}dx -i \pi \\
\end{aligned} \tag{3} = P ∫ − ∞ ∞ x e − i x ( t − t ′ ) d x − iπ − i ∫ − ∞ ∞ x sin [ x ( t − t ′ )] d x − iπ ( 3 ) Note that the integral can be re-written as:
∫ − ∞ ∞ sin [ x ( t − t ′ ) ] x d x = S i ( x [ t − t ′ ) ] ∣ x = − ∞ x = ∞ = ∫ 0 x ( t − t ′ ) sin ( ω ) ω d ω ∣ x = − ∞ x = ∞ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin[x (t-t^{\prime})]}{x}dx = \mathrm{Si} (x[t-t^{\prime})] \big \vert_{x=-\infty}^{x=\infty} = \int_{0}^{x(t-t^{\prime})} \frac{ \sin(\omega)}{\omega} d\omega \big \vert_{x=-\infty}^{x=\infty} ∫ − ∞ ∞ x sin [ x ( t − t ′ )] d x = Si ( x [ t − t ′ )] x = − ∞ x = ∞ = ∫ 0 x ( t − t ′ ) ω sin ( ω ) d ω x = − ∞ x = ∞ where $\mathrm{Si}$ is the sine integral .
Assuming we have $t-t’ > 0$ we have:
∫ − ∞ ∞ sin [ x ( t − t ′ ) ] x d x = ∫ 0 x ( t − t ′ ) sin ( ω ) ω d ω ∣ x = − ∞ x = ∞ = π \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin[x (t-t^{\prime})]}{x}dx =\int_{0}^{x(t-t^{\prime})} \frac{ \sin(\omega)}{\omega} d\omega \big \vert_{x=-\infty}^{x=\infty} = \pi ∫ − ∞ ∞ x sin [ x ( t − t ′ )] d x = ∫ 0 x ( t − t ′ ) ω sin ( ω ) d ω x = − ∞ x = ∞ = π So that Eq. 3 is:
P ∫ − ∞ ∞ e − i x ( t − t ′ ) d x x − i π = 0 (4) \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x} - i \pi = 0 \tag{4} P ∫ − ∞ ∞ x e − i x ( t − t ′ ) d x − iπ = 0 ( 4 ) and if $t-t’ < 0$ we have:
∫ − ∞ ∞ sin [ x ( t − t ′ ) ] x d x = ∫ 0 x ( t − t ′ ) sin ( ω ) ω d ω ∣ x = − ∞ x = ∞ = − π \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin[x (t-t^{\prime})]}{x}dx =\int_{0}^{x(t-t^{\prime})} \frac{ \sin(\omega)}{\omega} d\omega \big \vert_{x=-\infty}^{x=\infty} =- \pi ∫ − ∞ ∞ x sin [ x ( t − t ′ )] d x = ∫ 0 x ( t − t ′ ) ω sin ( ω ) d ω x = − ∞ x = ∞ = − π So that Eq. 3 is:
P ∫ − ∞ ∞ e − i x ( t − t ′ ) d x x − i π = − 2 i π (5) \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x} - i \pi = -2i\pi \tag{5} P ∫ − ∞ ∞ x e − i x ( t − t ′ ) d x − iπ = − 2 iπ ( 5 ) and if $t-t’ = 0$ we have:
∫ − ∞ ∞ sin [ x ( t − t ′ ) ] x d x = ∫ 0 x ( t − t ′ ) sin ( ω ) ω d ω ∣ x = − ∞ x = ∞ = 0 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin[x (t-t^{\prime})]}{x}dx =\int_{0}^{x(t-t^{\prime})} \frac{ \sin(\omega)}{\omega} d\omega \big \vert_{x=-\infty}^{x=\infty} = 0 ∫ − ∞ ∞ x sin [ x ( t − t ′ )] d x = ∫ 0 x ( t − t ′ ) ω sin ( ω ) d ω x = − ∞ x = ∞ = 0 So that Eq. 3 is:
P ∫ − ∞ ∞ e − i x ( t − t ′ ) d x x − i π = − i π (6) \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ e^{-i x (t-t^{\prime})} d x}{x} - i \pi = -i\pi \tag{6} P ∫ − ∞ ∞ x e − i x ( t − t ′ ) d x − iπ = − iπ ( 6 ) Multiply Eq. 4, 5 and 6 with $\frac{-1}{i 2 \pi}$ gives Eq. 2:
θ ( t − t ′ ) = { 0 t − t ′ < 0 1 2 t − t ′ = 0 1 t − t ′ > 0 \theta(t-t')= \begin{cases}0 & t-t'<0 \\ \frac{1}{2} & t-t'=0 \\ 1 & t-t'>0\end{cases} θ ( t − t ′ ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 2 1 1 t − t ′ < 0 t − t ′ = 0 t − t ′ > 0
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